Установлено подобие некоторых трипотентов и идемпотентов в гильбертовом пространстве $H$. Получены новые результаты о разностях и коммутаторах идемпотентов $P$ и $Q$. В унитальном случае с разностью $P-Q$ нами связана разность $A_{P,Q}$ другой пары идемпотентов. В некоторых случаях это позволило установить равенство $\varphi (P-Q)=0$ для следа $\varphi$ на унитальной С*-алгебре. Получены новые тождества для пар идемпотентов и для пар изоклинных проекторов.
Доказано, что каждый оператор $A\in B(H)$, $\dim H=+\infty$, представляется в виде суммы не более чем пятидесяти коммутаторов из $B(H)$. Показано, что коммутатор идемпотента и произвольного элемента из алгебры $A$ не может быть ненулевым идемпотентом.Если $H$ сепарабельно и $\dim H=+\infty$, то каждый косоэрмитов оператор $A\in B(H)$ представляется в виде суммы четырех коммутаторов косоэрмитовых операторов.
